主成分分析 ( Principal Component Analysis ， PCA ) 是一種掌握事物主要矛盾的統(tǒng)計(jì)分析方法，它可以從多元事物中解析出主要影響因素，揭示事物的本質(zhì)，簡化復(fù)雜的問題。計(jì)算主成分的目的是將高維數(shù)據(jù)投影到較低維空間。給定 n 個(gè)變量的 m 個(gè)觀察值，形成一個(gè) n ′ m 的數(shù)據(jù)矩陣， n 通常比較大。對于一個(gè)由多個(gè)變量描述的復(fù)雜事物，人們難以認(rèn)識，那么是否可以抓住事物主要方面進(jìn)行重點(diǎn)分析呢?如果事物的主要方面剛好體現(xiàn)在幾個(gè)主要變量上，我們只需要將這幾個(gè)變量分離出來，進(jìn)行詳細(xì)分析。但是，在一般情況下，并不能直接找出這樣的關(guān)鍵變量。這時(shí)我們可以用原有變量的線性組合來表示事物的主要方面， PCA 就是這樣一種分析方法。PCA 的目標(biāo)是尋找 r ( r

。

在進(jìn)行基因表達(dá)數(shù)據(jù)分析時(shí)，一個(gè)重要問題是確定每個(gè)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)是否是獨(dú)立的，如果每次實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)之間不是獨(dú)立的，則會(huì)影響基因表達(dá)數(shù)據(jù)分析結(jié)果的準(zhǔn)確性。對于利用基因芯片所檢測到的基因表達(dá)數(shù)據(jù)，如果用 PCA 方法進(jìn)行分析，可以將各個(gè)基因作為變量，也可以將實(shí)驗(yàn)條件作為變量。當(dāng)將基因作為變量時(shí)，通過分析確定一組“主要基因元素”，它們能夠很好地說明基因的特征，解釋實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象;當(dāng)將實(shí)驗(yàn)條件作為變量時(shí)，通過分析確定一組“主要實(shí)驗(yàn)因素”，它們能夠很好地刻畫實(shí)驗(yàn)條件的特征，解釋基因的行為。下面著重考慮以實(shí)驗(yàn)條件作為變量的 PCA 分析方法。假設(shè)將數(shù)據(jù)的維數(shù)從 R N 降到 R 3 ，具體的 PCA 分析步驟如下：

(1) *步計(jì)算矩陣 X 的樣本的協(xié)方差矩陣 S :

, i = 1,2,…,N 。本征值按大到小排序：

?，F(xiàn)在數(shù)據(jù)可以在三維空間中展示為云狀的點(diǎn)集。

對于 PCA ，確定新變量的個(gè)數(shù) r 是一個(gè)兩難的問題。我們的目標(biāo)是減小 r ，如果 r 小，則數(shù)據(jù)的維數(shù)低，便于分析，同時(shí)也降低了噪聲，但可能丟失一些有用的信息。究竟如何確定 r 呢?這需要進(jìn)一步分析每個(gè)主元素對信息的貢獻(xiàn)。

令

(8-45)

前 r 個(gè)主成分的累計(jì)貢獻(xiàn)率為：